Nullstellen berechnen bzw. bestimmen Tipps und Beispiele

 

Die Nullstellen eines Graphen lassen sich nicht auf eine universell gültige Weise bestimmen es sind häufig andere Hilfsformeln nötig die immer mehr oder weniger schwierig sind.

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Was jedoch immer gilt ist dass die Funktion gesetzt werden muss. Danach muss man auch immer die Funktionsgleichung nach auflösen allerdings geschieht dies oft auf eine andere Art und Weise. Die evtl. anwendbaren Verfahren sind hier nach der Einfachheit sortiert angefangen beim einfachsten, aufgehört beim kompliziertesten.

Allgemein gilt übrigens, dass eine Funktion maximal so viele Nullstellen haben kann wie hoch ihr Grad ist!

 

1.) Umformen der Formel

Es kann Funktionsgleichungen geben, bei denen man durch einfaches Umformen auf die Lösung kommen kann. Eine Funktion bei der dies anwendbar wäre ist zum Beispiel f(x)=x^2-4 . Hierbei

lässt sich diese Funktion auf einfache Weise nach x auflösen:

Nullstellen berechnen

Achtung: Beim Ziehen der Wurzel wie in diesem Fall ist immer zu beachten, dass das sowohl positiv als auch negativ sein könnte um die Gleichung zu erfüllen!

2.) Ausklammern

 

Bei allen Funktionen die keine Konstante (d.h. keinen Wert ohne X haben) lässt sich etwas ausklammern. Die auszuklammernde Variable ist dabei meistens X . Ein Funktionsbeispiel hierfür wäre die Funktion f(x)=x^2-4 .

X ausklammern

Nun haben wir zwei Faktoren. Einmal  x und einmal (x-4) und es ist logischerweise egal welcher von beiden ist. Von daher können wir die Linearfaktoren als getrennte Funktionen betrachten, deren Nullstellen jeweils den Nullstellen der Ausgangsfunktion entsprechen:

Ausklammern

Diese Funktion hat also eine Nullstelle bei 0 und eine bei 4 .

3.) Mitternachtsformel oder ABC Formel

Die ABC- oder Mitternachtsformel lässt sich generell bei Gleichungen der Form Mitternachtsformel

anwenden, also bei quadratischen Gleichungen. Ein Beispiel hierfür könnte unter anderem die Funktion Mitternachtsformel . Allerdings müsste man bei dieser Funktion zunächst

ausklammern. Dieses Beispiel soll auch zeigen, dass häufig Kombinationen aus den verschiedenen Methoden nötig sind:

mitternachtsformel

Als erste Nullstelle haben wir nun selbstverständlich x=0 aus dem Linearfaktor x. Aus dem zweiten Linearfaktor (2x^2+4x+2) können wir nun mithilfe der Mitternachtsformel die weiteren

Nullstellen bestimmen. Die Mitternachtsformel lautet  mitternachtsformel, wobei a die Zahl vor dem x^2 ist b, die Zahl vor x  ist sowie c die Konstante ist. Also:

mitternachtsformel

 

Die zweite Nullstelle ist also x= -1. Eine dritte Nullstelle existiert bei dieser Funktion nicht, da unter der Wurzel 0 steht.

4.) PQ Formel

Zur PQ Formel haben wir hier einen ausführlichen Artikel: PQ Formel Erklärung

5.) Substitution

 

Die Substitution ist das komplizierteste Verfahren zur Nullstellenbestimmung. Dabei werden bestimmte Potenzen von x durch eine Variable zunächst ersetzt. Dann wird nach dieser Variable aufgelöst und es wird wieder in die Ausgangsvariable übersetzt. Das ist so ohne Beispiel schwer zu verstehen. Eine Beispielfunktion wäre  .

Hierbei könnte man x^2=z setzen, dann hätte man für die Funktion nur noch substitution2 was wiederum eine Funktion wäre die man mit der Mitternachtsformel auflösen könnte:

substitution1


So jetzt kennt ihr viele Möglichkeiten um Nullstellen zu berechnen bzw. zu bestimmen, wählt die aus, die euch am leichtesten fällt.

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