Binomische Formeln Beispiel Erklärung Aufgaben Hilfen

Binomische Formeln Beispiel Erklärung

Die Binomischen Formeln sind Formeln, die es ermöglichen Quadrat Binome aufzulösen. Ein Quadrat Binom ist zum Beispiel (2+5)². Der Fehler ist, dass viel denken, man könne die Klammer auflösen, in dem man 2² + 5² rechnet, doch das ist falsch. Denn 2² + 5² = 4 + 25 = 29. (2+5)² hingegen ist 7² = 49. Die binomischen Formeln ermöglichen es nun, den Term aufzulösen, selbst wenn eine oder mehrere Variablen wie „x“ darin steht und man 2 + x nicht ausrechnen kann.

Eine binomische Formel ermöglicht einerseits also das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken aber andererseits erlauben sie auch bestimmte Summen oder Differenzen zur Vereinfachung als Terme zu schreiben. Letzteres hilft vor allem bei Bruchtermen, da man dann besser kürzen kann.

Das Adjektiv „binomisch“ leitet sich von dem Wort bi, was zwei heißt und dem Nomen, was Namen heißt ab (vgl. Binom). Die Bezeichnung leitet sich ausnahmsweise nicht von einem Mathematiker-Namen ab.
Es gibt drei einfach Fälle von binomischen Formeln, die man sich leicht merken kann.
Diese drei sind:

 

(a+b)² = a² + 2*a*b + b²
(a-b)² = a² – 2*a*b + b²
(a+b)*(a-b) = a² – b²

In unserem ersten Beispiel hätte man also in richtiger Weise rechnen müssen: (2+5)² = 2² + 2*2*5+ 5² = 4 + 20 + 25 = 49. So kommt man auf das gleiche Ergebnis wie 7².
Doch wieso braucht man die binomischen Formeln eigentlich? Nun ja, wenn man eine Gleichung lösen soll, die zum Beispiel so oder ähnlich gestellt ist: (x-5)² = 1 und man möchte nach x auflösen, so muss man zuerst die Klammer auflösen. Wie wir wissen muss man rechnen:

x² – 2*x*5 + 25 = 1
x² – 10 x + 25 = 1 |-25
x² – 10 x = -24

Nun müssten wir mit einer quadratischen Ergänzung weiter rechnen, was uns aber vom Thema ablenkt.
Sinnvoll ist eine binomische Formel auch in einem Bruch, wie zum Beispiel:
2² – 5²/2*(2+5)

Denn wir wissen ja, dass a² + b² gleich (a+b)*(a-b) ist. Dann kann man den Term (2+5) streichen und hat somit den vereinfachten Bruch:
2-5/2+5

Binomische Formeln können auch für hoch 3 angewandt werden. Hierfür kann man die allgemeine Formel verwenden kann:
(a + b)^n= Die Summe von k=0 bis n für: a^n-k * b^k

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3 comments… add one
  • Das Beispiel und die Erklärung war sehr hilfreich aber wie rechnet man genau den Rechenweg

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    • Ja da gebe ich dir recht Lisa 

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  • „(a + b)^n= Die Summe von k=0 bis n für: a^n-k * b^k“

    Das ist falsch!!!

    Es müsste heißen: (a + b)^n= Die Summe von k=0 bis n für: a^n-k * b^k * n über k!!!!

    !!!!!

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